Lebesgue積分ｾﾞﾐ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
05/03/04 13:25:04互いに傷を舐めあって行こうじゃないか
教科書は
ルベーグ積分入門 伊藤清三 しょうかぼう
でやろうと思います．
参加者は名乗りでること
sage進行でﾏﾀｰﾘと
0002(´･ω･`)∩
05/03/04 13:35:580003BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/04 13:46:05それとも測度論から作るやつ？
0004１３２人目の素数さん
05/03/04 13:50:120005BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/04 13:56:330006１３２人目の素数さん
05/03/04 14:11:16伊藤清三だと両方載ってるんじゃね？
0007１３２人目の素数さん
05/03/04 14:19:29理解が深まるような
0008１３２人目の素数さん
05/03/04 15:21:57の定義からだな。これさえおさえておけば、何も問題はない。
0009１３２人目の素数さん
05/03/04 16:23:23どっかのスレにあった問題。
A, BをLebesgue可測集合（AのLebesgue測度は有限），
χ_A, χ_Bをそれぞれの特性関数とする．
f(x)=∫_[-∞→+∞] χ_A(x-y)χ_B(y)dy
がほとんどいたるところ零なら，AまたはBのLebesgue測度は
零であることを示せ．
A, B をアーベル群とする。この二つのテンソル積が Z に同型なら、
0010１３２人目の素数さん
05/03/04 16:30:05nice
ｾﾞﾐ開始したらそんな感じでﾖﾛｼｸﾀﾉﾑｾﾞ
0011１３２人目の素数さん
05/03/04 17:57:59偉いといいつつage
0012１３２人目の素数さん
05/03/04 18:11:320013１３２人目の素数さん
05/03/04 19:23:060015１３２人目の素数さん
05/03/04 19:44:33大学の講義でってこと？
0016１３２人目の素数さん
05/03/04 19:44:340017|дﾟ)
05/03/04 19:51:16復習させてもらいます
明日本買ってくる
そ。だるくて測度に入るまで全部自習してた
0019１３２人目の素数さん
05/03/04 20:00:34実数の公理からはちょっとひどいな
0021１３２人目の素数さん
05/03/04 20:28:25うわああああん！！
0022１３２人目の素数さん
05/03/04 21:09:31http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/
やってる時は難しくてたまんなかったけど、今思い出して
見るとつまらないことに悩んでたなって感じになる・・・はず
0024１３２人目の素数さん
05/03/04 21:23:32区間でリーマン可積分ならば連続点が非可算個あるとか単調ならばリーマン
可積分だとかさ。
0025犬笠銀次郎
05/03/04 22:05:450026１３２人目の素数さん
05/03/04 23:11:21教授はゆとり教育反対とか言っているが、大学もゆとり教育なのさ。
昔は1年で全部やっていた内容が、2，3年に押しやられて。
函数解析も今じゃあ4年だろ。3年じゃあL^pくらいまで。
単に課程が糞ってだけ・・・２回生の時、数学の講義が3コマぐらしかなかった
どっち道、今後は大学競争で学部は易化しまくるんじゃねーかな
0028１３２人目の素数さん
05/03/05 00:56:41イメージ湧かなくて理解できないから本を買いまくった。
１０冊は優にあるが、読破した本はない。
0029１３２人目の素数さん
05/03/05 07:38:10∫_R f(x)dx = ∫_R ∫_R χ_A(x-y)χ_B(y)dydx = ∫_R ∫_R χ_A(x-y)χ_B(y)dxdy
= ∫_R μ(A)χ_B(y)dy = 0
二つ目の等式はフビニ。
B の測度が有限なら ∫_R μ(A)χ_B(y)dy = μ(A)μ(B) = 0
有限でない場合は μ(A)χ_B(y)=0 (∀y∈R)
0030１３２人目の素数さん
05/03/05 13:40:460031sage
05/03/05 14:02:37Ｐ１から始めましょう。
0032|дﾟ)
05/03/05 14:39:06§1 るべぇぐ測度トハ何カ
0033１３２人目の素数さん
05/03/05 14:40:54>>1にはリーダシップを取ってほしい。
0034１３２人目の素数さん
05/03/05 15:28:39集合函数って？ってなってしまう人もいるわけでそこで誰かが例を
あげてくれたらつまらないところでとまらずにすむ。というわけで
１さん、始めてください。ちなみに３０講なんかを先に読んでいたら
わかりやすいので初学者のかたは参考にしてください。
ちなみに今の大学ではるべくは何回生くらいで習うの？
0035１３２人目の素数さん
05/03/05 15:38:36とりあえず>>1は初心者のために
・§1
要旨
・§2
上極限集合・下極限集合の意味
有限集合，無限集合，可算集合とその例
対角線論法
・§3
点関数と集合関数
についてわかりやすく説明しとけ
0036１３２人目の素数さん
05/03/05 16:44:540037１３２人目の素数さん
05/03/05 19:21:1100381
05/03/05 21:15:41|дﾟ)さんが買ってきた事ですし
それでははじめましょう
0039１３２人目の素数さん
05/03/05 21:22:29細かいところまで証明すると辛いよ？
どんくらいの細かさでやるの？
0040１３２人目の素数さん
05/03/05 21:51:58証明が分からなかったら質問．
誰かが（俺か？）問題集とかから拾ってきた問題を出して，解けたら次行くみたいな
感じがいいんじゃないですかね？
ぶっちゃけ俺１回どうり読んだわけではないので
>>39みたいなのがいるとすごい助かります
0041１３２人目の素数さん
05/03/05 21:53:43じゃー院試まで暇だからちょっと付き合うよ。
0042BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/05 22:02:44それでは、R→C(あるいはR∪{+∞})の写像が可測関数であることと、
任意の区間の逆像がBorel可測であることが同値であることを証明して。
但し、それぞれの空間はBorel可測空間の構造が入っていることとする。
0043BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/05 22:03:32Re:>41 R→R∪{+∞}にしよう。
0044１３２人目の素数さん
05/03/05 22:14:16まだ§4ですよ
0045BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/05 22:35:21004741
05/03/05 23:08:45>>42
あーぶっちゃけメンドイｗ
方針としてはかたっぽは明らかで後は
任意の区間がBorel集合であることを言うって感じかな？
0048１３２人目の素数さん
05/03/05 23:17:42定理4.1
Z=X×Y(直積空間)
Ω_x，Ω_yをX，Yの部分集合の有限加法族とすると
Ω_z=｛ΣK_i(有限直和)|K_i=E_i×F_i(E_i∈Ω_x,F_i∈Ω_y)｝
は，Zの有限加法族になる
定理4.2
Ω_NをR^Nの区間塊，f_μ:R→R(μ=1･･･N)を単調増加関数
I=(a_1，b_1]×･･･×(a_N，b_N]
に対して
m(I)=Π_μ{f_μ(b_μ)-f_μ(a_μ)}
区間塊E=I_1+･･･I_nに対して
m(E)=m(I_1)+･･･m(I_n)
と定義するとmは有限加法的測度になる
さらに
mがΩ_Nの上で完全加法的⇔f_μがすべて右連続
が成り立つ
0049１３２人目の素数さん
05/03/05 23:18:520050１３２人目の素数さん
05/03/05 23:23:35たしかに。本を持っていることが前提だから（そうでなければ本を
指定すること自体無意味だし、他のＬ−積分のスレですればいい）
定義や定理の羅列でなく、読んだ内容についてみんなで話すということが
大切だと思う。つまりインプットはそれぞれ持っている本で行い、
ここではアウトプットを行う場としてはどうでしょうか？
0052１３２人目の素数さん
05/03/05 23:39:38本を読むスピードは人それぞれですが、極端に早い人や遅い人がいる場合、
遅い人に対しては質問等が過去レス読めって感じになっちゃうこともありますし、
１日の範囲を決めておけばそのようなこともありませんし。
0054１３２人目の素数さん
05/03/06 00:08:14１日にすすむページですか？何章かにもよるのでわからないですが、
僕の場合はある程度内容しってるんで遅くはないと思います。
ただ１日にすすむ範囲をあまり多くせず、１つのことについてじっくり
話してみたいと思います。特に教科書に載っていない例や反例、
定理の仮定を緩めてみたりなど。
また１回勉強した人たちがいると、読む場所の強弱がわかるので、
アドバイスできる方が何人かいて欲しいですね。
00551
05/03/06 00:24:38やばい，主催者の俺が一番でんきなそうやんけ
そうですね，教科書に載ってない例や反例は欲しいですね
そういうの考慮すると
一日5ﾍﾟｰｼﾞが打倒か？
って遅いか
0056１３２人目の素数さん
05/03/06 00:32:16初学者の立場から考えたらそれくらいでも遅いとは思いませんよ。
ただ、みんなで読んでいくので１人で読むよりは意外と早く
すすむかもしれませんね。まずは第１回目はどこまで進むか決めましょう。
0057１３２人目の素数さん
05/03/06 00:33:390059１３２人目の素数さん
05/03/06 00:38:57それもいいですね。演習
0060１３２人目の素数さん
05/03/06 00:39:440061１３２人目の素数さん
05/03/06 01:53:54私も加わっていいですか？
もう始まっちゃったのかな？
0062┐( ´Д`)┌
05/03/06 01:56:240063ふぉー
05/03/06 02:09:550064ro
05/03/06 04:22:34決めましょう。
>>62 そうですね。私もしてませんでした。34=50=52=54=56です。
00651
05/03/06 14:29:300066ro
05/03/06 16:19:310068１３２人目の素数さん
05/03/07 00:42:360071１３２人目の素数さん
05/03/07 11:37:370072１３２人目の素数さん
05/03/07 12:46:35アク禁に巻き込まれたみたいです
数日先にやっててくらさい
0074代行してもらってます
05/03/07 20:54:54なんかﾀﾞｳﾝﾛｰﾄﾞ版で荒らしたやつとﾎｽﾄが一致してたみたいです
代行さんが許すかぎりなんとかｾﾞﾐには参加します
とりあえず今日は§4やったっす('A`)
0075┐( ´Д`)┌ ◆OiLCaUMxOs
05/03/08 09:01:19多少具体例と一般論がゴチャゴチャに
書いてある感があるけど読みやすいですね。
取りあえず図書館から借りた本に付箋紙貼りながら読んでたら、
さっき剥がした際に一緒に表面が剥がれて一寸読めなくなった。。。
昭和38年発行とかロックフエラー財団寄贈とか書いてあるからなあ。。。orz
ところで一番最初に書いてある、Riemann積分で完全加法性が
成立しないような区間の例ってどんなのがあるんでしょうか？
後のほうに例が挙げてあるのかな？私は見つけられなかったんですが
007641=あほあほな大学３年生
05/03/08 20:02:03ちょっとよくわからないけれど
たとえばfとして
f(x)=0 x∈{x∈[0,1]| xは有理数}
1 x∈{x∈[0,1]| xは無理数}
とすれば[0,1]上の積分はRiemann積分は定義されない（何故なら上積分と下積分が一致しない）が
Lebesgue積分は1って感じって感じになるんだけど…
ええと最初のp1で言ってる面積っていうのは
これから勉強するであろう「測度」に対応するものです
p30を見てもらえればわかるけれど測度の定義とかが載っていますですよ
0077１３２人目の素数さん
05/03/08 20:06:42その場合，面積をもち互いに交わらないA_1,A_2,A_3.............に対応するのは何ですか？
0078あほあほな大学３年生
05/03/08 20:19:44この本を読む前でも後でも測度に関しては新井仁之先生のルベーグ積分講義ってのを読むと個人的にいいと思います
（Lebesgue可測集合に関してLebesgueの考え方が載っているので…
Lebesgue外測度とLebesgue内測度が一致→Lebesgue可測）
ちなみにこの本ではCaratheodory可測からLebesgue可測に入っています
>>77
区間の長さです
なかなかイメージがつかない例でごめんなさい…
0079あほあほな大学３年生
05/03/08 20:21:40なんていえばいいんだろう…
0080１３２人目の素数さん
05/03/08 20:33:530081１３２人目の素数さん
05/03/08 21:02:54２次元の体積→面積
３次元の体積→体積
ということがいいたかったのだろう。
0082１３２人目の素数さん
05/03/08 21:05:05リーマン積分の初歩が分かっていれば大丈夫でしょうか？
0083１３２人目の素数さん
05/03/08 21:13:32あと集合論がよくわかってればOK。
来年３年生かな？
0084１３２人目の素数さん
05/03/08 21:33:33どの区間ですか？
0086BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/08 21:42:260087１３２人目の素数さん
05/03/08 22:01:23くだらない煽りだな。
初学者に教えてやろうという意思がないならこのスレには一切書き込むな。
0088１３２人目の素数さん
05/03/08 22:03:370089１３２人目の素数さん
05/03/08 22:07:56区間が問題じゃなくて、区間の図り方が違うんだよ。
0090１３２人目の素数さん
05/03/08 22:12:58開催できたらいいんだけどね。
周りにそういうのやりたそうな人いないんだよねー
とりあえず受験で上手くいったんで数学科に進学しましたって感じの人が多い。
関係ないのでsage
0091１３２人目の素数さん
05/03/08 22:14:45図り方とかじゃあなくて、完全加法性の定義に対応するA_1,A_2,A_3,......という図形は>>76の例で言うと何なのかを聞いてるんでしょ
0092１３２人目の素数さん
05/03/08 22:16:00のし
やらないか？
0093１３２人目の素数さん
05/03/08 22:17:41マジレスすると
>Riemann積分で完全加法性が成立しないような区間の例
これ自体意味不明だから>>76云々もない。
0094１３２人目の素数さん
05/03/08 22:20:28「Riemann 積分を使って定義された面積の概念だけでは2')は必ずしも成立しない．
A_1,A_2,...がすべて面積を持っても，それら無限個を合わせたA_1+A_2+・・・は面積を持たないこともある．」
と書いていることを受けて「その例は？」と彼は聞いてるんでしょう。
0095１３２人目の素数さん
05/03/08 22:38:10無限個を合わせた[0,1]∩Qはジョルダン可測でなく、リーマン積分による長さの定義
はできない」という例とみなせばよい。
もしf(x)が区間Iでリーマン可積分で、Iを可算個の区間の合併∪Inに分割したとき、
おのおののIn上でもfがリーマン可積分で、しかもΣ∫_In f(x)dx = ∫_I f(x)dxが
成り立たない例はあるか？という意味なら、そのような例はない。
0096BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU
05/03/08 22:45:300097１３２人目の素数さん
05/03/08 23:01:25確かにそうですね。仲間内だとなぁなぁになってしまいますね。
だから、ホントに数学が好きでまじめにやってくれる人と
セミナーやりたいですね。
>>76さんのおっしゃる関数について、これがRimann積分では面積を
求められないってのは自明として、では、
「A_1,A_2,...がすべて面積を持っても」
のA_1,A_2,...はこの場合何にあたるのかというと、
まず。
[0,1]にある有理数を
Ｑ_0={q_1,q_2,・・・}
と並べていき、
Ｉ_1=[(q_1)-ε/2,(q_1)+ε/2]
とする。
Ｉ_1に含まれる有理数をＱ_0から取り除いた残りの集合から、任意に有理数
を選び、εより小さく、またＩ_1と共通部分を持たないように区間を作っていけば、
それが、A_1,A_2,...にあたる区間になるんじゃないかな。
0099|дﾟ)
05/03/08 23:27:28A_iを各有理数{q_i}，和集合を[0,1]の有理数全体と考えて
A_iの「面積」は0だけどそれらの無限和集合はリーマン積分の意味で面積をもたない
という感じかしら
0100１３２人目の素数さん
05/03/08 23:27:51ｆはx=ａで定義されているなら何でもよいのか？
0101|дﾟ)
05/03/08 23:32:36■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています