χ(x;limsupA_n) = 1
⇔x ∈ ∩_n ∪_{ν≧n} A_ν
⇔∀n ∃ν≧n x ∈ A_ν
⇔∀n ∃ν≧n χ(x;A_ν) = 1
⇔∀n sup_{ν≧n}(X,A_ν) = 1
⇔inf_n sup_{ν≧n}χ(X,A_ν) = 1
⇔limsup χ(x;A_ν) = 1

これは結構自明に近いですから、
よく上極限とかに関して復習したほうがいいかも。