1+u'^2+2uu''=0
の一般解は
x = c1(θ- sinθ) + c2
u = c1(1 - cosθ)
ということを、代入して確かめるためには、
u'とu''を求めないことにはできませんよね？

u'=(∂u/∂θ) / (∂x/∂θ)
でいいと思うのですが、u''の方がどうにも分かりません。
そこのところを教えていただけないでしょうか？