この問題の証明を考えたんですか、あっているかどうか確認お願いします。
ベクトル空間Vとその部分空間Wについて、dimV=n,dimW=m (n>m)とする。
Vの基底v(1),,,v(n))をv(1),,,,v(m)がWの基底になるようにとれることを示せ。

v(1),,,,v(m)をWの基底とする。Vの元であってWに含まれないものをとってv(m+1)とする。
すると、v(1),,,,v(m),v(m+1)は一次独立である。
なぜなら、a(1)v(1) + ,,, + a(m)v(m) + a(m+1)v(m+1) = 0とおくと、
a(1)v(1) + ,,, + a(m)v(m) = -a(m+1)v(m+1)
左辺はWの元なので、a(m+1)=0でなけれなならない。さらにv(1),,,,v(m)はWの基底だから一次独立。
よってa(1) = ,,, = a(m+1) =0
次に、v(m+1)と一次独立な元があればそれをとってv(m+2)とする。
上と似た議論によってv(1),,,,v(m+2)は一次独立であることがわかる。
次にv(m+1)とv(m+2)と一次独立な元があればv(m+3)とする。
これを繰り返していくと、dim V = nよりv(1),,,v(m),,,v(n)が一次独立となるようにできる。
v(1),,,v(n)で生成される空間を考えれば、それは次元を考えれば明らかにVと一致する。
よってv(1),,,v(n)は題意の基底である。