x+y=tと置くと
x^2-xy+y^2=1⇔t^2-3xy=1より
xy=(t^2-1)/3
解と係数の関係より
x,yを解ともつ方程式はx^2-tx+(t^2-1)/3=0
これが実数解をもつ条件は判別式D=t^2-(4/3)(t^2-1)≧0
⇔-2≦t≦2
xy=(t^2-1)/3だから
t=0の時最小値-1/3
t=-2,2の時最大値1を取る