P=y+3x-(1/2)x^2を
y=(1/2)x^2-3x+P=(1/2)(x-3)^2 +P-9/2として、
頂点(3,P-9/2)の放物線とみる。
この放物線とy=ax+2が第一象限(x,y≧0)で
交点をもつとき、放物線の頂点のy座標が
最も上にくるときPの最大値となる。

場合分けが面倒くさそうです。