ようするに、空でない孤立点を持たない完備距離空間は、非可算集合になるということ。
というわけで、実数をなんとしてでも可算であるとしたい人は

1.実数は空集合
2.実数には孤立点が存在する
3.実数は完備ではない
4.実数は距離空間ではない

のどれかを主張してみるといいんじゃないかな。