可算個の稠密な開集合の共通部分は、再び稠密な集合になる（特に空集合でない）。

んで、もし実数が可算個だったら、可算個の稠密な開集合の共通部分が
空集合になるようにできる。ところが、これは定理に矛盾する。

したがって、実数は可算ではない。