>>876
　ベールのカテゴリー定理：
「完備距離空間の至る所稠密な開集合から成る可算列の共通部分は至る所稠密
である」という定理には対角線論法はいらない。

　これを使うと、空でなく孤立点を持たない完備距離空間 Ｘ は一般に非可算
無限集合であることが証明される。実際、Ｘ={x_n | n=1,2,…} とすると、Ｘ
から一点 x_n を除いた集合 Ｏ_n は、x_n が孤立点でないことから Ｘ の至る
所稠密な開集合である。
　よって Ｏ_n 全体の共通部分は Ｘ で至る所稠密、従って特に空でない。こ
れは Ｘ={x_n | n=1,2,…} に反する。