本題の原稿を書き上げるまでこのスレに寄ることは封印してた。待たせたな。(待ってないかｗ)
証明などというおこがましいことには挑まず、方向性のみを示そう。(全部で5レス)

まず0.999・・・・を2種類に分ける。
1)小数点以下n桁目とn+1桁目の9の処理に時間差がある:0.999..... と表記(1桁ずつ逐次処理型)
2)小数点以下n桁目とn+1桁目の9との間に時間差がない:0.999… と表記(全桁一体型)
　　1)との対比でこのような表現にしているが、要は無限小数表示形式の「0.999…」全体で
　　　　ひとかたまりの記号だと思えばよい。

結論から言うと
1桁ずつ逐次処理型の0.999.....では、0.999.....≠1
全桁一体型の0.999…では、0.999…＝1