いちおう、>>302の疑問に答えておくと、

正確には、"自然数全体の集合"を上の五つの性質を満たすものとして定義するのです。
集合の話なので、任意の元をとれる。

もちろん、そのような定義を満たす集合が存在する事は証明しなければならない事です。
そしてそれは証明されています。