I=(1/2πi(α-β))∫[0→2π]{( re^(iθ)-α )'/( re^(iθ)-α ) - ( re^(iθ)-β )'/( re^(iθ)-β )} dθ
.(1/2πi(α-β))[log( re^(iθ)-α ) - log( re^(iθ)-β )]|[0→2π]
.(1/2πi(α-β))[log( re^(iθ)-α ) / ( re^(iθ)-β )]|[0→2π]
.(1/2πi(α-β))[log( re^(i2π)-α ) / ( re^(i2π)-β )　-　log( re^(0)-α ) / ( re^(0)-β )]
.(1/2πi(α-β))[log( re^(iπ)^(2) -α ) / ( re^(iπ)^(2) -β )　-　log( re^(0)-α ) / ( re^(0)-β )]

e^(iπ)=-1　e^(0)=1なので

I=(1/2πi(α-β))[log( r(-1)^(2) -α ) / ( r(-1)^(2) -β )　-　log( r-α ) / ( r-β )]
.(1/2πi(α-β))[log( r -α ) / ( r -β )　-　log( r-α ) / ( r-β )]
.(1/2πi(α-β))[log{( r -α ) / ( r -β )}/{( r-α ) / ( r-β )} ]
.(1/2πi(α-β))[log 1]

.=0・・・？

・・・あれ？

っていう感じです。本当に頭悪くてごめんなさい。
398さんのおっしゃった特異点の理解がぜんぜんだめっぽいので
特異点もっかい勉強してみます。