質問です。

xについての2次方程式
(x-1)(x-2)+k(x-a)=0
がすべての実数kに対して実数解をもつように、実数aの範囲を定めよ。


という問題なのなのですが、kの恒等式と考えて
(x-1)(x-2)=0
x-a=0
からa=1, 2で間違っているのは何故でしょうか？
答えは
1≦a≦2でした。
お手数ですが、お願いします。