x^2-yz=2, y^2-zx=2, x≠y のとき、z^2-xy=2 であることを証明せよ

x^2-yz=2, y^2-zx=2　の辺辺引くと
x^2-y^2-(yz-zx)=0　よって(x-y)(x+y+z)=0
x≠yより x+y+z=0　ゆえにz=-x-y

条件の式、z^2-xy=2に代入して
x^2+xy+y^2=2

よってz^2-xy=(-x-y)^2-xy=x^2+xy+y^2=2

とあるのですが、これでx^2+xy+y^2=2が証明できるのかがわかりません。
ご教示お願いします。