>>265
その領域は連結なんだな？

h=f-g とおくと h も D 上全微分可能で hx=0 , hy=0
p,q∈D に対して h(p)=h(q) を示す
p=q のときは明らか。p≠q とする。
D は R^2 の連結領域なので弧状連結。
p と q を結ぶ可微分曲線 c(t)=(c1(t),c2(t)) , c(0)=p , c(1)=q が存在する。
(d/dt)(h(c(t)))=((∂h/∂x)(c1(t)))(d(c1(t))/dt)+((∂h/∂y)(c2(t)))(d(c2(t))/dt)=0
したがって h(c(t)) は[0,1]上constant。h(c(0))=h(c(1))