{a_n}は有界だから、任意のnをとって集合{a_n,a_n+1,a_n+2........}も有界です。
よって上限と下限が存在し、それをl_n,m_nとおきます。
l_nは減少列、m_nは増加列です。l_n≧m_nは当然です。