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平方根の時は例えば√２と√３の時でやると
a+√２b∈Q(√２)　c+√３d∈Q(√３)　（a,b,c,d,は有理数）

と現して、二つの共通部分の元ｘは　ｘ＝a+ｂ√２　＝　c+ｄ√３
と現せるので　√２b　＝　c-a+√３d　と移項して両辺を二乗して
2b^2-(c-a)^2-3d^2 = 2√３＊(c-a)d
（c-a）ｄ≠０　とすると　√３が有理数になるので矛盾→　（c-a）ｄ＝０

（１）c-a=0とする
a+ｂ√２　＝　c+ｄ√３　から　ｄ√（３／２）＝b
ｄ≠０なら√（３／２）＝b／ｄ　で矛盾→ｄ＝０
同様に
ｂ√（２／３）＝ｄと変形して
ｂ≠０なら√（２／３）＝ｄ／ｂ　で矛盾→ｂ＝０
よってc-a=0ならｂ＝ｄ＝０　でｘ＝a＝ｃ∈Ｑ

（２）ｄ＝０とする
a+ｂ√２　＝　c+ｄ√３　から　ｂ√２＝ｃ−a
ｂ≠０　だと√２∈Ｑで矛盾→ｂ＝０
よってｘ＝a＝c∈Ｑ

以上よりQ(√２)∩Ｑ（√３）⊆Ｑ
またQ(√２)∩Ｑ（√３）⊇Ｑは明らかなので　Q(√２)∩Ｑ（√３）＝Ｑ

とこんな手順でやりました。