確率の変数変換の問題です。お願いします。

fX(x)=1/(pi*sqrt(1-x^2)); -1≦x≦1,
fY(y)=y*exp(-(y^2)/2); 0≦y<∞

X,Yは互いに独立した確率変数

(1) Z=X*Yの確率密度関数を求めよ。
(2) E[Z],Var[Z]を求めよ。

u=xy,v=yとしてヤコビアンを獲てから積分するんだろうということは
大体見当が付いてるんですが、結合確率密度関数を求めた後の積分がうまく出来ません。

どうぞよろしくお願いします。