おねがいします。。

f(x,y) = x*y
∬f(x,y)dxdy , D = {(x,y) ; x^2+y^2 ≦ √(x^2-y^2) , x≧y≧0}を求める問題なのですが。。
D

x=r*cosθ
y=r*sinθ

によって極座標変換して

∬r^3*sinθ*cosθdrdθ , E = {(r*cosθ,r*sinθ) ; r^2 ≦ cos2θ, 0≦θ≦π/4 }
E

とした後、ここで判らないのは、積分範囲、です。
θが明確なのに対して、そこから[0≦ｒ≦1] としていいのかどうか、が判りません。

私は、[0≦ｒ≦ √(cos2θ)]として、まずθ固定させてｒを積分する手法をとりました。
答は1/48です。。
先ほどの[0≦ｒ≦1]を用いると、順番に関係なく積分できますが、答が1/16になってしまうのです。

2重積分では、まず片方の変数を固定して積分できるならば、（今度は固定を解除して）もう一度
積分できる、というものだと教わりました。が、積分範囲の決め方がいまいちよくわかりません。。

長くなりましたが、よろしくおねがいします。