xの関数f(x)=a(x^2+2x+2)^2+2a(x^2+2x+2)+bは最小値6をもち、
f(0)=11である。このときのa,bの値を求めよ

X=x^2+2x+2 として、aX^2+2aX+b=a(X+1)^2-a+b
ここからa,bを求めようと思いますが分からないのはaの範囲です。
f(0)=11だからa<0（上に凸）ですよね？
解答ではX≧1であるからa>0となっており、混乱して分からなくなってしまいました。
解説してもらえませんか？