【sin】高校生のための数学質問スレPart18【cos】
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0001ポリゴンだいすき☆ ◆iMPWS/vD/.
NGNG(･∀･)やった!あと1問!
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(ﾟДﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?ﾅﾆｺﾉﾓﾝﾀﾞｲ?
ヽ(`Д´)ﾉｳﾜｧｧﾝ!!ﾜｶﾝﾅｲﾖｫ!!!
･･･てな時に､頼りになる質問スレです｡
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は自分で探すこと）
・質問者はあらゆる回答者に敬意を表しましょう。（荒らしはスルーでおながい）
0685１３２人目の素数さん
05/01/25 00:23:59ごめん、滅茶苦茶だった。
0686１３２人目の素数さん
05/01/25 00:24:420687１３２人目の素数さん
05/01/25 00:34:52恒等式使え。 x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(・・・)+3xyz
(a－b)^3＋(b－c)^3＋(c－a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
0688１３２人目の素数さん
05/01/25 00:44:51相加・相乗平均の関係より
sinAsinBsinC ≦ {(sinA + sinB + sinC)/3}^3 (等号はA=B=C=π/3)
また、y=sinx のグラフは 0<x<π の範囲で上に凸なので
(sinA + sinB + sinC)/3 ≦ sin{(A+B+C)/3} = sin(π/3) = (√3)/2
(等号はA=B=C=π/3)
よって
sinAsinBsinC ≦ {(sinA + sinB + sinC)/3}^3 ≦ 3(√3)/8 (等号はA=B=C=π/3)
0689１３２人目の素数さん
05/01/25 01:06:37(sinA + sinB + sinC)/3 ≦ sin{(A+B+C)/3} = sin(π/3) = (√3)/2
の部分がちょっとまだ理解できませんが、もう少し考えてみようと思います。
ありがとうございました！
0690１３２人目の素数さん
05/01/25 03:08:14不等式の証明で、A＞Bを証明する時、普通はA-B>0を示しますが、
B-A＜0を示してもよいのでしょうか？
最近数学Aを始めました。
不等式の証明の所まで来て、二つの数の大小を調べよという問題で、
結果的に小さいほうから大きいほうを引いてしまいました。
こういう場合、逆にしてやり直さなければいけないのでしょうか？
0691１３２人目の素数さん
05/01/25 03:54:24もちろんかまわんが、B-A<0を示しちゃうと
余計な一手間かかることも多いんでな。
簡単な数値比較であればさほど問題はないが
整式の比較とかになると色々面倒なことにならんとも限らん。
ま、とりあえず正になるよう変形する習慣をつけとけば
将来幸せになれる場面も出てこようて。ふぉっふぉっふぉ。
0692１３２人目の素数さん
05/01/25 04:25:07不等式を証明することが多いんで、正にするのが普通ですよ
0693１３２人目の素数さん
05/01/25 13:08:24宜しくお願いします。
N本のくじの中に6本の当たりくじがある。このくじから2本引くとき
当たりくじと｣はずれくじがそれぞれ1本ずつである確率が2/7である。
このときのくじの本数を求めよ。
0694１３２人目の素数さん
05/01/25 13:55:55t=tan(θ)/2とおくとき、次の等式が成り立つことを示せ。
(1)cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)
(2)tanθ=2t/(1-t^2)
(3)sinθ=2t/(1+t^2)
宿題で当てられてしまいました。
取り組んでみたのですが、数学がどうも苦手なもので、
(1)から詰まってしまいました…やはり何か公式を使うんでしょうか？
どなたか教えて頂けませんでしょうか。
0695１３２人目の素数さん
05/01/25 13:57:33どうもありがとうございました。先に適当な数を入れてみてからやるようにしたい
と思います。
0696１３２人目の素数さん
05/01/25 14:00:23２倍角の公式を使う
習ってるはず
0697１３２人目の素数さん
05/01/25 14:26:48(1-t^2)/(1+t^2) =(1-tan^2(θ/2) )/(1+tan^2(θ/2) )
=(1-sin^2(θ/2)/cos^2(θ/2) )/(1+sin^2(θ/2)/cos^2(θ/2) )
=(cos^2(θ/2)-sin^2(θ/2)) / (cos^2(θ/2) + sin^2(θ/2) )
=( cos(θ/2+θ/2) ) / 1
= cosθ
(2),(3)も同様
0698１３２人目の素数さん
05/01/25 16:29:45ｘ＾2+ｘ+1で割ると余りが2ｘ+3である三次式を求めよ。
よろしくお願いします
0699１３２人目の素数さん
05/01/25 16:48:22f(x)=(ax+b)(x^2+1) +(3x+2)
=(ax+c)(x^2+x+1) +(2x+3)
を展開して、係数比較。
ax^3+bx^2+(a+3)x+(b+2)
ax^3+(a+c)x^2+(a+c+2)x+(c+3)
b=a+c,a+3=a+c+2,b+2=c+3
0700１３２人目の素数さん
05/01/25 17:00:45４（２ｘ－ｙ）2－１１（２ｘ－ｙ）－３
どなたか教えてください
0701１３２人目の素数さん
05/01/25 17:04:06ありがとうございます。
まだ(2)(3)にはいけていないんですが、(1)について、
>>697の1行目右の式→2行目と、
3行目→4行目がなぜこうなるのかが分からないです。
tan^2(θ/2)がsin^2(θ/2)/cos^2(θ/2)となるのはなぜでしょうか。
0702１３２人目の素数さん
05/01/25 17:05:33有難うございました。
（ax+b）を使えばよかったのか。
0703１３２人目の素数さん
05/01/25 17:07:58(tanθ)^2＝(sinθ/cosθ)^2 で θ → θ/2
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 =1 で θ → θ/2
cos(a+b)=(cosa)(cosb)-(sina)(sinb)で a,b →θ/2
0704１３２人目の素数さん
05/01/25 17:27:47ありがとうございます、分かってきました。
相互関係はθがθ/2になってもそのまま使えるんですね。
しかし、まだ3～4行目の分子の変化
(cos^2(θ/2)-sin^2(θ/2)) → （ cos(θ/2+θ/2) )
がよくわかりません。半角の公式でしょうか？
0705１３２人目の素数さん
05/01/25 17:36:23sin(９０度＋θ）
cos(９０度＋θ）
tan(９０度＋θ）
0706１３２人目の素数さん
05/01/25 17:39:48横から失礼します。
cos^2(θ/2)-sin^2(θ/2)
=cos(θ/2)cos(θ/2)-sin(θ/2)sin(θ/2)
とみて加法定理を使う。
0707１３２人目の素数さん
05/01/25 17:48:42上から順に
cosθ
-sinθ
-cotθ
0708１３２人目の素数さん
05/01/25 18:24:17加法定理ですか！分かりました！
答えてくださった方、どうもありがとうございました。
これで(1)は理解できましたので、2と3に取り組んでみます。
もし行き詰まりましたらまたよろしくお願いします。
0709１３２人目の素数さん
05/01/25 19:03:35a＋b=1,p>1
のとき次の不等式を証明せよ。
(ax＋by)^p≦ax^p＋by^p
という問題が解けません。
どなたか解けるかたがおりましたら教えてください。
よろしくお願いします！！
0710１３２人目の素数さん
05/01/25 19:10:58おまい一度も問題分正しく書けたことないな。
マルチだけど。
0711１３２人目の素数さん
05/01/25 20:25:40(1)ともに正
(2)ともに負
(3)異符号
この問題異なる2つの実数解をもつって書いてあるからD/4>0ってのは要らないと思うんですけど要りますか？
0712１３２人目の素数さん
05/01/25 20:29:07いるに決まってるだろバカか君は
(1)軸が正f(0)>0
(2)軸が負f(0)>0
(3)f(0)<0
0713１３２人目の素数さん
05/01/25 20:32:52この問題２つの解がともに正って書いてあるから軸が正f(0)>0 ってのは要らないと思うんですけど要りますか？
この問題２つの解がともに負って書いてあるから軸が負f(0)>0 ってのは要らないと思うんですけど要りますか？
この問題２つの解が異符号って書いてあるからf(0)<0 ってのは要らないと思うんですけど要りますか？
0714１３２人目の素数さん
05/01/25 20:36:55(3)はD/4>0はいらないよ。
0715１３２人目の素数さん
05/01/25 20:44:23①xのとる値の範囲を求めよ。
②BC=a(aはa>1を満たす定数)とするとき、yをxとaで表し、yの最大値を求めよ。
0716１３２人目の素数さん
05/01/25 20:49:40下から三行目…a＞1
0717お願いします。
05/01/25 21:26:24また、あるｘについて成り立つとき、定数ｍのとりうる範囲は？
0718１３２人目の素数さん
05/01/25 21:38:21f(x)=mx^2-(m-1)x+(m-1)
m<0 かつ Ｄ=(1-m)^2-4m(m-1) <0 グラフが上に凸かつ、ｘ軸と交点なしの条件
m<-1
すべてのｘについて成立しない場合は、
m>0 かつ Ｄ＞０ グラフが下に凸、かつ、ｘ軸と交点なしの条件
m>1 → あるｘについて成立するには、m<=1
m=0の場合は、f(x)=x
0719１３２人目の素数さん
05/01/25 21:41:36ってどうやって
(zz~-1)(z-z~)=0
の形にするんですか？
複素数やってたらよくでてくるんですが
よくわかりません。。
0720１３２人目の素数さん
05/01/25 21:42:57因数分解的にやるだけ
0721１３２人目の素数さん
05/01/25 21:54:180722１３２人目の素数さん
05/01/25 21:54:320723１３２人目の素数さん
05/01/25 21:58:13> 因数分解的に
( ´,_ゝ｀) プッ
0724１３２人目の素数さん
05/01/25 22:00:12a-b)a^2b-ab^2+-a+b=0
a^2b-ab^2
-a+b
-a+b
0725１３２人目の素数さん
05/01/25 22:45:20, -─ ‐-
／´ ｀ヽ､
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ゝ_ゝ‐一'￣￣ ｀‐- ∠ )） / | l ＼
0726１３２人目の素数さん
05/01/25 23:18:29a＋b=1,p>1
のとき次の不等式を証明せよ。
(ax＋by)^p≦ax^p＋by^p
よろしくお願いします！！
0727１３２人目の素数さん
05/01/25 23:19:450728１３２人目の素数さん
05/01/26 00:54:390729１３２人目の素数さん
05/01/26 01:07:089・1 + 10・193 + 11・6
0730まっちょ石川
05/01/26 01:13:05∫[0,(2/3)]{(2x-x^2-(4/3)x}dx
=∫[0,(2/3)]{-x^2+(2/3)x}dx
=-∫[0,(2/3)]{x(x-(2/3))}dx
=-∫[0,(2/3)]{x-0}{x-(2/3)}dx
=-{-(1/6)}{2/3}^3
あってますか？
0731１３２人目の素数さん
05/01/26 01:15:46よって一般整数解は、
9*(1 + 10x - 11z) + 10*( -9x + 11y) + 11(6 -10y + 9z)
0732１３２人目の素数さん
05/01/26 01:17:59訂正。
9*(1 + 10x - 11z) + 10*(193 -9x + 11y) + 11(6 -10y + 9z)
後は自然数条件を求める。
0733１３２人目の素数さん
05/01/26 01:22:08公式を使ったんだな。
あってはいるけど、最後まで分数の計算もしろよ。
0734お願いします
05/01/26 04:43:390735１３２人目の素数さん
05/01/26 05:00:00aが3の倍数のときa^2は3で割ると○あまる。
aが3で割って1余るときa^2は3で割ると○あまる。
aが3で割って2余るときa^2は3で割ると○あまる。
0736１３２人目の素数さん
05/01/26 05:00:43背理法使え。
l,m,n すべてが３の倍数だとすると
(l^2+2)(m^2+2)(n^2+2)＝(３の倍数）＋８ となる。
0737１３２人目の素数さん
05/01/26 05:04:56対偶をとる。
l,m,nがすべて3の倍数ならば、(l^2+2)(m^2+2)(n^2+2)が3の倍数でないことを示すのは容易でしょう。
0738１３２人目の素数さん
05/01/26 05:23:060739１３２人目の素数さん
05/01/26 09:25:09問４ 次の級数の和を求めよ。
（ⅲ） sinθ＋sin３θ＋sin５θ＋・・・＋sin（2n＋１）θ
公式 sinθ＋sin（θ＋α）＋sin（θ＋２α）＋・・・
＋sin（θ＋（ｎ－１）α）
＝（sin（θ＋（（ｎ－１）α／２ ）sin（ｎα／２））／（sin（α／２））
で、α＝２θ、 ｎをｎ＋１に置き換えて、
答えが sin（（ｎ＋１）θ）＾２／sinθ となりました。
解答を見ると、この１／２なのですが、何故だかよく分かりません。
何処で間違ったのでしょうか？
0740１３２人目の素数さん
05/01/26 09:31:22その級数は複素数を使うか、和積の公式で
A_n-A_(n+1)の形にして求めます。
しかし、参考書がマニアックですねえｗｗｗ
この問題から察するに、多分良い本なんだと思いますが。
0741１３２人目の素数さん
05/01/26 09:55:35さっそくレスしていただき、ありがとうございます。
この本は昭和３７年発行、当時の定価で４８０円です。
大学の教養課程用ですが、序言には多くの部分は高等学校の
過程で学習した題目から成っているとありますから、
高校生でも読める内容です。確かにこれ一冊マスターすれば、
他の数学書も読みやすくなると思います。
この公式についての説明（かなり省略されてる）があって、
解読したところ、一応納得できましたので、間違いではな
かろうとは思ってましたが、出来れば解答願います。
0742１３２人目の素数さん
05/01/26 09:57:30廣川書店って医学書の出版社。高校生が使う参考書なんだろうか。
覚えられない公式を暗記してもしょうがないと思う。
いつでも導ける計算力をつけるべき。
計算してみたけど{sin(ｎ+1)θ}^2/sinθ になった。
-2sinθ*sin(2k＋1)θ = cos(2k+2)θ - cos2kθ において k=0～n まで加えて
-2sinθ*Σ[0,n]sin(2k＋1)θ = cos(2k+2)θ - 1
Σ[0,n]sin(2k＋1)θ = {1 - cos(2k+2)θ }/(2sinθ)
= {sin(ｎ+1)θ}^2/sinθ
0743１３２人目の素数さん
05/01/26 10:15:11公式そのものは正しいよ。ただの誤植でしょ。
0744１３２人目の素数さん
05/01/26 10:27:22>>739での書き込みで、答えの括弧の記入ミスをしてました。
{sin(ｎ+1)θ}^2/sinθ と同じ答えです。
ですから、本の公式は間違ってないが、巻末の解答の間違いで
あろうと思います。ご教示感謝いたします。
0745１３２人目の素数さん
05/01/26 10:44:100746１３２人目の素数さん
05/01/26 10:47:290747１３２人目の素数さん
05/01/26 10:49:190748１３２人目の素数さん
05/01/26 11:02:15xが実数の時
√(x^2) = |x|
この絶対値はいつでも付いてる。
絶対値の無いときというのは
さらに、x ≧ 0ということがわかっていて
|x| = xと、絶対値が外れるとき
√(x^2) = |x| = x
0749７４４
05/01/26 11:44:17sin(x)＝sin（ｘ＋２πｎ） ただし、ｎは整数
を使えばいいのではないでしょうか。
そうすると、ｘ＝３πｎ になります。
0750１３２人目の素数さん
05/01/26 11:49:35明らかにおかしいと思われ
0751１３２人目の素数さん
05/01/26 12:33:390752１３２人目の素数さん
05/01/26 12:36:53sin(x)-sin(x/3)=0
2cos(2x/3)sin(x/3)=0
cos(2x/3)=0 または sin(x/3)=0
2x/3=(π/2)+mπ または x/3=nπ (m,n は整数)
x=(3/4)π+(3/2)mπ または x=3nπ
>>749
その解法は大変興味深く、また私の解答が誤りであるようなので
よろしければ詳しくご説明していただけないでしょうか？
0753１３２人目の素数さん
05/01/26 12:45:42正しいよ
0754７４9
05/01/26 12:54:49sin(x)＝sin（ｘ＋２πｎ） ただし、ｎは整数
＝sin（ｘ／３）
ｘ＋２πｎ＝ｘ／３ より、ｘ＝－３πｎ です。
0755１３２人目の素数さん
05/01/26 12:58:10だから足りない・・・
0756１３２人目の素数さん
05/01/26 13:02:59π-x+2πn=x/3
x=3π/4 +3πn/2
0757７４5
05/01/26 13:09:46sin(x)＝－sin（ｘ＋πｎ）＝sin（－ｘ－πｎ）
＝sin（ｘ／３）
－ｘ－πｎ＝ｘ／３ より、 ｘ＝－３πｎ／４ も答えに加える。
0758７４７
05/01/26 13:12:360759１３２人目の素数さん
05/01/26 13:17:43sin(x)=-sin(x+πn)
は誤りです。また、
-x-πn=x/3 ならば sin(-x-πn)=sin(x/3)
は正しいですが
sin(-x-πn)=sin(x/3) だから -x-πn=x/3
としているので誤りです。
0760752
05/01/26 13:22:29ご返答ありがとうございます。>>752です。その式中で
sin（ｘ＋２πｎ）＝sin（ｘ／３）
から、なぜ
ｘ＋２πｎ＝ｘ／３
が得られるのか、という部分に関して詳しい説明をしていただけるとありがたいです。
0761１３２人目の素数さん
05/01/26 13:26:100762７54
05/01/26 13:28:360763７54
05/01/26 13:32:59まぁ、そんなもんです。
が、有意義な議論をするためにはイジメはやめるべきでしょう。
0764チェネラウス
05/01/26 14:06:30物理ⅠBで習う「波動」の分野以外で、お願いします。
0765745
05/01/26 14:39:58何か思っていたよりも難しそうなので、明日先生に聞いてみたいと思います。
どうもありがとうございましたm(__)m
0766７39
05/01/26 14:46:25＞-2sinθ*sin(2k＋1)θ = cos(2k+2)θ - cos2kθ において k=0～n まで加えて
ｋ＝０ では、右辺＝ cos２θ － ０
ｋ＝１ では、右辺＝ cos４θ － cos２θ
ｋ＝２ では、右辺＝ cos６θ － cos４θ
ｋ＝３ では、右辺＝ cos８θ － cos６θ
・
・
ｋ＝ｎ－１ では、右辺＝cos２ｎθ － cos（２（ｎ－１）θ）
ｋ＝ｎ では、右辺＝cos（２ｎ＋２）θ－cos２ｎθ
これらの合計＝cos（２ｎ＋２）θ となるのですが、
＞-2sinθ*Σ[0,n]sin(2k＋1)θ = cos(2k+2)θ - 1
となるのはなぜでしょうか？
0767１３２人目の素数さん
05/01/26 14:54:190768１３２人目の素数さん
05/01/26 14:57:3110715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511
24936122493198378815695858127594672917553146825187145285692314043598457757
46985748039345677748242309854210746050623711418779541821530464749835819412
67398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668
069376
0769１３２人目の素数さん
05/01/26 14:59:340770７39
05/01/26 14:59:52の間違いでした。すみません。
これらの合計＝cos（２ｎ＋２）－１ で納得。
0772７39
05/01/26 15:04:25どんな周期関数でも、フーリエ級数を使えば、三角関数の和になるから、
子供の落書きも三角関数になる。
0773１３２人目の素数さん
05/01/26 15:08:202^4=16だから(-1)^250=1。
0774１３２人目の素数さん
05/01/26 15:14:170775１３２人目の素数さん
05/01/26 15:22:502^1000=(2^4)^250=16^250=(17-1)^250=17の倍数+(-1)^250
0776１３２人目の素数さん
05/01/26 15:41:470777１３２人目の素数さん
05/01/26 15:51:52a.a+1.....a+n-1がそれぞれの球に一つずつ記されている
nの値はわかっているがaの値はわかっていないものとする
(1)この球から無造作に１個の球を取り出し記されている整数を調べる
ただし取り出した球は元に戻さない。これを繰り返してX回目に初めてaの値がわかるとする
X-kと成る確率を求め、Xの期待値E(X)を求めよ
(2)この箱から無造作に１個の球を取り出し記されている整数を調べて箱に戻すことを
k回繰り返す。この操作によってaの値がわかる確率を求めよ
宜しくお願いします。
0778１３２人目の素数さん
05/01/26 15:53:51２ちゃんねる数学板の興隆について
0779１３２人目の素数さん
05/01/26 15:56:59a の値がわかるのは、a のたまたまと a+n-1 のたまたまを取り出したとき
0780１３２人目の素数さん
05/01/26 16:00:472^nの最初の桁がｋになる確率について。（添付:2^1000までの計算結果)
0781１３２人目の素数さん
05/01/26 16:02:22この最大値と最小値の求め方がわかりません。
おしえてください。お願いいたします。
0782777
05/01/26 16:04:01n=3のときa.a+1.a+2でa+2のたまとaのたまを取り出せばaの値がわかる
n=4とのきa.a+1.a+2、a+3でa+3とaの球を取り出すと最短二回の試行でaの値がわかるのでしょうか?
あと6行目はX=kです。ごめんなさい
0783１３２人目の素数さん
05/01/26 16:09:47cos2xとsin2xの式にして合成
0784１３２人目の素数さん
05/01/26 16:18:34お！2xでそろえればよかったんですね。。ありがとうございます！
あと一つ質問が・・・
三角形ABCにおいて ∠A＝60ﾟであるとするとき
sinB+sinCのとりうる値の範囲
sinBsinCのとりうる値の範囲
のとき方も教えていただけないでしょうか？
お願いいたします。
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