質問です。

三角形ABCについて、sinAsinBsinCが最大になるときそれは正三角形であることを証明せよ

という問題で、

（証明）
A,B,Cは三角形の角なのでsinA>0 sinB>0 sinC>0 A+B+C=π　が成立する。
ここで相加相乗の関係より
(sinA+sinB)≧√sinAsinB, (sinB+sinC)≧√sinBsinC, (sinC+sinA)≧√sinCsinA　が成立する。
さらにこの三式の積
(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)/8≧sinAsinBsinC　が成立する。
これは右辺の最大値が左辺であることをあらわす。
等号成立、すなわち右辺が最大値をとるときは　sinA=sinB=sinC　のときで・・・

といた具合に証明を進めていったのですが、先生にこの証明が完璧でないことを指摘されました。
どうやら「これは右辺の最大値が左辺であることをあらわす。等号成立、すなわち・・・」あたりが怪しいそうです。

どういった点が不完全であるか分かりやすく教えてください。お願いします。