>>167>>169
書かれてないけど、たぶん実数だろう。複素数範囲なら問題にならないわけで。

>>168
その方針でやってみてる最中だが、その後の計算キツイよ。

αβ＋βγ＋γα＝k とおく。
三次方程式
x^3 - 2 x^2 ＋ k x - √6 = 0 …★
が3つの実解(重解は許す)をもつときの k の範囲を求めればよい。
★ は x=0 では解を持たないので、両辺を x で割って移行すると、
-x^2 + 2x + √6/x = k
となる。 f(x) = -x^2 + 2x + √6/x とおいて関数 f の増減表を書けばいいのだが、
f'(x) = -2x + 2 + √6/(x^2)
f'(x) = 0 ⇔ -2 x^3 + 2 x^2 + √6 = 0

三次方程式が残ってしまった…