ある人の収入がIであるとする。この人は価格がPjで示される消費材j(j=1,…,n)を
Xjだけ購入して、以下に示す満足度を最大にするものとする。
Z＝Π_[j=1,n](Xj)^(αj)＝(X1)^(α1)・(X2)^(α2)…(Xn)^(αn)　　αjはパラメータでαj＞0
最適な購入量を求める条件式を書け。
最適な購入量の代数式を書け。

こういう問題なのですが、ラグランジュの未定乗数法を使って
L=Z+λ(I-ΣPjXj)
∂L/∂Xj=αj/Xj・Π(Xj)^(αj)-λPj　for ∀j
という条件式までは理解できましたが、最適な購入量の代数式の導き方がわかりません。
任意のjを取り上げて、それについて連立方程式を解けばよいのはわかるのですが。
ちなみに解答はXj=I・αj/PjΣαjになるらしいです。
どうかご教授お願いしますm(_ _)m