>>855
成分計算で定義してるんだったら
a↑・b↑=b↑・a↑
a↑・(b↑+c↑)=a↑・b↑+a↑・c↑
などを実際に計算で確かめられるからOK。

長さと角度で定義(|a↑||b↑|cosθ)してるんなら
a↑・b↑はb↑のa↑方向の成分の大きさを表してると考えられるから
a↑・(b↑+c↑)
=(b↑+c↑)のa↑成分
=(b↑のa↑成分)+(c↑のa↑成分)
=a↑・b↑+a↑・c↑
これは図を描いてみるとよくわかると思う。