色の違う5個の玉をA,B,Cの揮毫をつけたこの箱に入れるとき、
どの箱にも少なくとも1個の玉が入るような入れ方は何通りあるか？

という問題で、普通に全体の場合の数ー空箱が出来る場合の数
とすれば、問題ありませんが、私はまず、最初に1個ずつ各箱に入れておいて、
その後、残りの2個の玉を空箱があってもよいとして3個の箱に入れる入れ方を考えました。

式で表すと、

5Ｐ3×3^3=540となるのですが、
明らかに違います。

1時間近く考えたのですが、私の考え方または数式にどこに間違いがあるのかわかりません。

どなたか、間違っている点を指摘していただけないでしょうか？
宜しくお願い致します。