これらを 4cosθsinθsin3θ＝cos3θ に代入すると、
4cosθsinθ{3sinθ-4(sinθ)^3}＝4(cosθ)^3-3cosθ
12cosθ(sinθ)^2-16cosθ(sinθ)^4＝4(cosθ)^3-3cosθ

関係式 (cosθ)^2+(sinθ)^2=1 を使ってsinθを消去し、
cosθだけの式にする。

12cosθ{1-(cosθ)^2}-16cosθ{1-(cosθ)^2}^2＝4(cosθ)^3-3cosθ

t=cosθとおいて整理すると、
t(16t^4-16t^2+1)=0

0゜＜θ＜90゜より、t>0なので、
16t^4-16t^2+1=0

x=t^2とおくと、
16x^2-16x+1=0,
x=(2±√3)/4.

t=√x={√(2±√3)}/2.