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偏微分方程式何故何スレッド2

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NGNG

1 名前：ラス・ヘルマンダー[] 投稿日：03/05/11 23:57
偏微分方程式について語ろう

前スレ

偏微分方程式何故何スレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1052665053/

0429１３２人目の素数さん

2008/03/11(火) 20:57:26

>>428
一体どうなってるんですかね。私もぜひ詳しい事を知りたいです。先生は教えてくれないのですか？

先生の答えは、変形すると、u = (2r)^{-1}(sin (r + t)-sin|r - t|)で、あなたのはu= (2r)^{-1}(sin (r + t)-sin(r - t))
先生の答えはrやtでの１階微分がr=tで不連続ですよね？
それに対してあなたの答えは、r=0以外では何回でも微分できるし、どちらも解のように見えます。
解の唯一性は１階微分が不連続なら成立しないこともあるのでしょうが、、、。

0430１３２人目の素数さん

2008/03/11(火) 23:24:46

>>４２９
有り難うございます。これは数年前の授業の演習問題で、答えのプリントに
そうなってました。そのときは問題を解かずに放っておいたのですが、
今になって勉強し直してみたところ、答えが合わなくて。
残念ながら、その先生はすでに退官してしまってます・・・。
ちなみに、初期条件が u(x, y, z, 0) = 0, u_t(x, y, z, 0) = r^{-1} sin r の
場合の解答は u = r^{-1}sin r sin t となってて、これは合っていました。

0431１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 00:31:35

もともとr=0, t=0でu_tが定義されてない
物理的意味（球面波）からr=tのところでu_tが定義されないのは諦めるとして、
それ以外は滑らかと考える
u=r^{-1}{f(t + r) + g(t - r)} と書いたとき、
初期条件から
f(v)=sinv(v≧0), g(v)=sinv (v≦0)は出たんだね？
uの形からあとはv<0でのg(v)を決めればよい
uの連続性の要求からgも連続だが
特にr=0での連続性の要求からt>0に対して
lim[r→0](f(t+r)+g(t-r))=0が必要で、
f(t)+g(t)=0 (t>0)
これからg(v)=-|sinv|となるから先生の答えになる

0432１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 00:40:24

g(v)=sinv (v≦0), -sinv (v>0)な、何やってんだか・・・

0433１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 00:42:11

そっか、g(v)=-sin|v|って書こうとしたんだな
連投失礼

0434１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 12:25:47

なるほど、u_t の不連続性が進行波で移動していくわけですね。
初期条件から g(v) = 2^{-1}sin v を導くときに、v = -r < 0を見落として
いたのが間違いのもとでした。有り難うございました。

0435１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 12:50:32

　　　　　　＿＿＿_
　　　　　／　　　　　＼
　　　　／　⌒　　　⌒　＼
　　／　（●）　（●）　　＼　どういたしまして
　　|　　　　　　__´___　　　　. |
　　　＼　　　 `ー'´ 　　／

0436１３２人目の素数さん

2008/03/12(水) 15:01:50

　　　　　／　　　　　＼
　　　　／　⌒　　　⌒　＼
　　　 C|　（●）　（●）　|C　　これでは、どう？
　　　　|　　　__´__　　　|　
　　　　＼　　 `ー'´　　／

0437437

2008/03/12(水) 21:40:53

4+3=7

0438１３２人目の素数さん

2008/05/05(月) 22:23:08

427

0439１３２人目の素数さん

2008/05/20(火) 11:31:14

波動方程式は C＾∞－Wellposed 。

0440１３２人目の素数さん

2008/05/30(金) 22:32:01

age

0441１３２人目の素数さん

2008/07/23(水) 04:06:54

916

0442１３２人目の素数さん

2008/08/12(火) 10:51:40

２つ質問させてください

・放物型微分方程式
∂u∂t+σ^2Δu/2+a∇u=0
に対して、その formal adjoint と呼ばれている
-∂μ∂t+σ^2Δμ/2-∇aμ=0
っていったいどういったものなんでしょうか？

・微分方程式で fundamental solution というのは、日本語で一般解？特殊解？それともべつのもの？

0443１３２人目の素数さん

2008/08/12(火) 11:14:42

>>442
前半：
関数の内積を (u,μ) = ∫u(x,t) μ(x,t) dx dt と書き，
微分方程式を微分作用素 D を用いて D u = 0 と書いておく．

作用素 D の随伴とは，適当なクラスの u, μ に対して
(D u, μ) = (u, D'μ) を満たす作用素 D' のこと．
（そこでは，D' μ = 0 のことも随伴と呼んでるみたいだが）
これは行列の随伴（共役転置）と同じ概念．

後半：
別のもの．基本解と訳されることが多い．

0444１３２人目の素数さん

2008/08/12(火) 13:56:30

>>443
おお！ありがとうございます。形式的にはわかったのですが・・・

前半：最初の方程式は拡散方程式で、物理的な意味もよくわかるのですが、その随伴というのは例えば熱拡散やブラウン運動においてどのような意味を持つのでしょうか？

後半：基本解の意味をざっくり教えていただけませんか

0445１３２人目の素数さん

2008/08/12(火) 23:46:25

>>444
前半：
常に行列とのアナロジーで考えれば良いのだけれど，
行列 A が物理的に意味があるものだったとしても，
A の共役転置の意味が簡単に解釈できるとは限らない．

それと同じで，微分作用素の随伴も一般には意味不明で，
少なくとも拡散方程式の場合の物理的解釈は俺にはできない．

後半：
微分方程式 D u = f, (u の境界条件) の基本解とは，
D e = δ なる方程式の解 e のこと．
境界条件を考慮するかどうかは流儀による．
グリーン関数と同一視されることも多い．

0446１３２人目の素数さん

2008/08/13(水) 16:35:09

>>445
ありがとうございました。

0447１３２人目の素数さん

2008/08/18(月) 22:04:41

http://tetujingattya.hp.infoseek.co.jp/math/14q.gif

の解き方を誰か教えて下さい。答は

http://tetujingattya.hp.infoseek.co.jp/math/21a.gif

です。変数変換でしょうか？

0448447

2008/08/18(月) 22:06:33

問題は http://tetujingattya.hp.infoseek.co.jp/math/21q.gif の間違いでした｡

0449１３２人目の素数さん

2008/08/19(火) 09:21:04

>>448
解が間違ってるか，仮定が落ちてるかのどちらかだな．

z のフーリエ変換が存在すると仮定し，
　z(x,y) = ∫Z(u,v) exp(-iux) exp(-ivy) du dv
とおいて代入して積分記号下を整理すると
　(2 u + v)(u - 2 v) Z(u, v) = 0
を得る．よって 2 u = -v もしくは u = 2 v もしくは Z(u, v) = 0．
これらをフーリエ変換の式に再度代入する．
Z(u,-2u) = F(u), Z(u,u) = G(u) とおけば
　z(x,y) = ∫F(u) exp(-iu(x-2y)) du + ∫G(v) exp(-iv(2x+y)) dv
　　　　 = f(x-2y) + g(2x+y)
となる．ただし f, g は F, G の逆フーリエ変換．

0450447

2008/08/19(火) 17:08:25

>>449
有り難うございました。
ﾌｰﾘｴ変換無しでは駄目ですよね．．．

0451１３２人目の素数さん

2008/08/19(火) 20:47:15

>>450
使う道具を制限するなら何を使えるか列挙してくれ。

0452こんなんじゃ駄目かね？

2008/08/19(火) 21:10:37

>>450

この問題は定係数で線型であるから、微分演算子が

( ∂/∂x - 2∂/∂y )( 2∂/∂x + ∂/∂y ) z = 0

と因数分解できる。このとき方程式

( ∂/∂x - 2∂/∂y ) z = 0 、( 2∂/∂x + ∂/∂y ) z = 0

の何れの解も、もとの方程式の解となる。

前者の一般解は z_1 ＝ f_1 (2x-y)
後者の一般解は z_2 ＝ f_2 (x+2y) ・・・　 f_i (X) は任意の一変数関数。

もとの方程式の一般解は　 z ＝ f_1 (2x-y) + f_2 (x+2y)

0453１３２人目の素数さん

2008/08/20(水) 18:29:06

( ∂/∂x - 2∂/∂y )｛( 2∂/∂x + ∂/∂y ) z｝＝0 から
( 2∂/∂x + ∂/∂y ) z＝ｆ(2x+y) なら分かるけど、その後はどうするの？

0454こんなんじゃ駄目かね？

2008/08/20(水) 22:19:30

>>453

( ∂/∂x - 2∂/∂y ) z = 0 、( 2∂/∂x + ∂/∂y ) z = 0

の何れの解を求める所か出発する。ここでミスプリ発見、関数の中の符号を間違えた。
前者の一般解は z_1 ＝ f_1 (2x+y)
後者の一般解は z_2 ＝ f_2 (x-2y) ・・・　 f_i (X) は任意の一変数関数。

これらの微分演算子の結合は果敢であるから、上のタイプの解はもとの方程式の解となる。

ひょっとして、非同次の
( ∂/∂x - 2∂/∂y )( 2∂/∂x + ∂/∂y ) z = z
でも考えているのか？

0455１３２人目の素数さん

2008/08/21(木) 00:10:58

>>453
その論法だと
( ∂/∂x - 2∂/∂y )( ∂/∂x - 2∂/∂y ) z = 0
の解は z＝ｆ(2x+y) ＋ｇ(2x+y) になりませんか？

0456こんなんじゃ駄目かね？

2008/08/21(木) 03:54:36

>>455

アンカーミスか？

( ∂/∂x - 2∂/∂y )^2 z = 0

の場合は少し違う。 z ＝ f_1 (2x+y) + (x-2y) f_2 (2x+y) が一般解。

これは ( ∂/∂u )^2 w = 0 なる二変数函数 w(u,v) を考える事と同じ。この場合は
w(u,v) ＝ f_1 (v) + u* f_2 (v)

0457１３２人目の素数さん

2008/09/10(水) 21:02:11

hage

0458１３２人目の素数さん

2008/09/14(日) 23:21:38

2階微分方程式を、2階階差数列で表す事ができますか？

0459１３２人目の素数さん

2008/09/28(日) 14:28:39

熱拡散方程式
du/dt+(1/2)d^2u/dx^2+cu=0
とその共役
-(dv/dt)+(1/2)d^2v/dx^2+cv=0
（cはポテンシャル項）
の初期値終期値をそれぞれv_a,u_bとすると、pを基本解として
\int v_a dx p(a,x;b,y) u_b dy =1
を必ず満たしますか？

英語の文献で
... we need a pair of functions (v_a,u_b) which satisfies (上式) ...
となっていたのですが、satisfiesの意味が
「(v_a,u_b)は必ず...を満たす」なのか
「(v_a,u_b)を...を満たすようにとる」なのか
わかりませんでした。

よろしくお願いします。

0460１３２人目の素数さん

2008/09/28(日) 15:22:06

>>459
上式を満たす関数のペアを探そうぜってこと

0461459

2008/09/28(日) 15:28:08

>>460
thx!

0462１３２人目の素数さん

2008/09/29(月) 13:29:12

偏微分がわかりません。
Z＝2X＋3Y＋4
のZ小さいX とZ小さいYを求める問題です。
偏微分自体がわかりません。
解説お願いします。

0463１３２人目の素数さん

2008/09/29(月) 21:18:59

>>462
教科書嫁。そしてスレ違い。

0464１３２人目の素数さん

2008/10/26(日) 14:27:01

015

0465１３２人目の素数さん

2008/11/21(金) 08:27:12

515

0466１３２人目の素数さん

2008/11/27(木) 02:09:52

うるさい。

0467１３２人目の素数さん

2008/12/14(日) 21:35:14

四年。

0468１３２人目の素数さん

2009/01/11(日) 10:06:19

375

0469１３２人目の素数さん

2009/02/11(水) 16:33:10

792

0470１３２人目の素数さん

2009/02/16(月) 01:03:42

King氏ね

0471KingGold ◆3waIkAJWrg

2009/02/16(月) 21:42:09

Reply:>>470 お前に何がわかるというか。

人への念の無許可見による介入を除去せよ。

0472１３２人目の素数さん

2009/03/01(日) 11:33:50

kingさんは童貞ですか?

0473KingGold ◆3waIkAJWrg

2009/03/02(月) 17:08:10

Reply:>>472 わらべではない。

0474１３２人目の素数さん

2009/03/02(月) 17:54:18

u_t=Δu+f(u)でも解こうか

0475１３２人目の素数さん

2009/03/26(木) 21:17:05

>474

f(u)=u^p　ですか？

0476１３２人目の素数さん

2009/03/26(木) 23:00:18

>>475
ひとまずはそれでいこう

0477１３２人目の素数さん

2009/04/26(日) 01:49:28

099

0478１３２人目の素数さん

2009/06/26(金) 08:34:27

209

0479１３２人目の素数さん

2009/08/18(火) 09:20:10

789

0480１３２人目の素数さん

2009/09/04(金) 21:28:13

西田順治さん自分もそうだがお互い断る勇気持たないと…私が辞職したら、金と体両方潰れますよ。次の鴨が直ぐ見つかります？体も限界でわ

0481１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 05:45:07

線形で定数係数（t-depend）の奴をフーリエ変換して解を求めるのって
フーリエ変換できないクラスの解は捨ててる事にならない？

0482１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 06:49:14

コンパクトな台に乗せればいいんじゃない

0483１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 08:56:13

超関数って一般にフーリエ変換できないのでは？

0484１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 09:00:43

緩増加にしておけ

0485１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 09:44:35

偏微分方程式って、大学数学レベルで論文がどんどん書けるらしいね？
先生がそう言っていたよ　計算問題レベルが論文になると

0486１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 10:56:45

>>485
計算に関してほかに使えそうなテクニックが使われているならば、
確かに君の言うとおり「計算しただけ」で論文になるけどね。

・テクニックの独創性
・既存のテクニックの適用範囲を広げて見せた

のどちらかが必要だよ。

0487１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 11:01:37

他につかえそうなテクニックって？
偏微分法的式の論文って、常に新しいテクニックが出ているの？
そんなことないんじゃないの？　計算のテクニックって
数十個くらいしか知られていないのではない？＿

0488１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 17:21:10

>>484
結局、>>481 は正しいってことですか？

0489１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 17:40:18

必要な知識が簡単でどんどん論文が書けるってことは、それだけやられていない
問題を見つけてくるのが難しいってこと。
ちょっと先行研究の問題設定を変えて論文を書くことは難しくないかも
しれないが、そんなことやっても評価はしてもらえない。

>>481,488
まずは超関数を勉強しろ。話はそれからだ。

0490484

2009/09/10(木) 17:53:19

>>488
関係無い話に割り込まないでくれるか？

0491１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 17:57:33

関係あると思うぞ

0492１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 17:59:49

気の所為だ

0493１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 18:01:18

IQが20以上違うと会話が成立しないというのを思い出した

0494１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 19:07:16

>>481は正しいでFA？

0495１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 19:18:33

>>481
なるよ。
でも、普通っぽい関数空間(L2とかLpとかソボレフとか）に含まれない解で君は何をしたいの？

0496１３２人目の素数さん

2009/09/10(木) 23:26:33

熱方程式の初期値問題は一般に一意解をもたない訳だな。

0497１３２人目の素数さん

2009/09/11(金) 02:43:51

温度と言うものは平衡状態でないと定義できないと物理の人から聞いたぞ
だったら熱方程式で扱ってる熱は一体何なんだろう
まぁそんなこと微分方程式論にとってはどうでもいいことではあるかもしれんが

0498猫は残飯 ◆ghclfYsc82

2009/09/11(金) 07:42:38

私もソコはちゃんと理解したいですね。
そもそも「温度の定義」ってのは気体分子運動論とか
ボルツマン定数とかが関係する話じゃなかったですかね。
だからS=klogWってのがあってですね、それでボルツマン
定数ってのが意味があるって言うか、そういう話じゃ
なかったですかね？

あと、比熱の意味とかも気になりますけどね、
誰か専門家の方は居られないんですかね？
ついでに量子統計力学と熱力学の関係とかもですね、
ド素人にも判る様にして戴ければ有難いんですが。

0499１３２人目の素数さん

2009/09/11(金) 08:55:36

>>495
C^∞ は普通っぽいと思うけど。

0500１３２人目の素数さん

2009/09/11(金) 14:27:14

C^ω はもっと普通っぽい

0501１３２人目の素数さん

2009/09/11(金) 14:48:41

C^ω^Э　って書くと顔文字みたいだね

0502１３２人目の素数さん

2009/09/11(金) 14:52:35

>>481
でも解の存在が言えて、解の一意性が言えたら結局その解しか
ないから、存在性の時点で捨てても意味はあると思う。

0503１３２人目の素数さん

2009/09/11(金) 21:40:35

>>481
線形定数係数なら、エーレンプライス読め。

0504１３２人目の素数さん

2009/09/12(土) 01:05:01

素朴な疑問
H^∞ ⊂ C^∞ なの？

0505１３２人目の素数さん

2009/09/12(土) 07:51:12

>>504
左辺は積分経由だから１点だけ変な値でも許されちゃう
右辺はそうはいかない

興味わかないだろう返事でスマソ

0506１３２人目の素数さん

2009/09/12(土) 08:05:00

>>505
ソボレフの補題より、測度0の点を補正すれば無眼回微分可能では？

0507１３２人目の素数さん

2009/09/12(土) 08:16:12

>>506
サンクス

0508１３２人目の素数さん

2009/09/12(土) 13:01:43

>>506
ＰＤＥしばらくやってないからうろ覚えだけど、ソボレフの補題って次元に依存してるんじゃなかったっけ？

0509１３２人目の素数さん

2009/09/12(土) 13:36:53

>>508
依存しているけど
>>504 は∞なので有限引いても心配ない

0510C^ω^Э

2009/09/12(土) 21:57:02

エーレンブライス読むお

0511１３２人目の素数さん

2009/09/13(日) 13:34:59

>>509
でしたね．ありがとうございます．

0512１３２人目の素数さん

2009/09/13(日) 14:05:34

>>511
あっそうか

504さんの素朴な質問が
もし有限次だったら解析性が下がる
って注釈付きで解答したほうが親切でした

乱暴なレスを重ねてスレ汚しスマソです _o_

0513１３２人目の素数さん

2009/09/13(日) 19:31:22

ついでに S ⊂ H^∞ だよね？

0514１３２人目の素数さん

2009/09/15(火) 00:19:33

Gevrey class ってのがよう分からん。
http://eom.springer.de/g/g120040.htm
C^∞ のクラス分けかなぁ。

0515１３２人目の素数さん

2009/09/15(火) 01:23:49

>>514
そのリンクのページの最初の最初に

An intermediate space between the spaces of smooth (i.e. Ｃ^∞) functions and real-analytic functions.

って思い切り書いてあるじゃん．

えーと、実解析的関数を、ノルムの増大度で特徴付ける方法を知ってることが前提だけど．

0516１３２人目の素数さん

2009/09/15(火) 02:16:51

旧現象とか、知らんなあ……

0517１３２人目の素数さん

2009/09/15(火) 22:19:25

急減少かつ実解析関数の例を20秒以内に挙げよ

0518１３２人目の素数さん

2009/09/15(火) 22:19:43

f=0

0519１３２人目の素数さん

2009/09/16(水) 00:00:46

自明な例を除いて

0520１３２人目の素数さん

2009/09/16(水) 00:01:58

exp-x^2

0521１３２人目の素数さん

2009/09/17(木) 03:04:59

>>514

リンク先にs=1のＧｅｖｒｅｙクラスは実解析関数になるって書いてあるよね

0522age

2009/09/20(日) 14:46:59

しかしGevreyｸﾗｽの具体的な関数は構成可能なのか？

0523１３２人目の素数さん

2009/09/21(月) 04:14:07

具体的な例なんて考えた事もなかったなぁ

0524１３２人目の素数さん

2009/09/21(月) 05:47:32

他にも H^∞ に入ってるが、S には入っていない関数とかどうなんだろう？

0525１３２人目の素数さん

2009/09/21(月) 10:28:01

>>524　

たとえば (1+x^2)^{-1/2}

急減少でないのは明らか
任意の導関数が遠方で O(|x|^{-1}) となることに注意すれば
H^∞も分かる

0526１３２人目の素数さん

2009/09/21(月) 22:04:21

今、テマン方程式に関する論文を読んでいます

0527１３２人目の素数さん

2009/09/21(月) 22:48:49

>>525
なるへそ

0528１３２人目の素数さん

2009/09/26(土) 01:28:44

>>522
可能ですよ

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