位相について語ろう！２
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0001１３２人目の素数さん
NGNGまず位相って一言で言うと？
俺は数学専門じゃないんで言えないけど。
なんか抽象的すぎて難しい
前スレ
位相について語ろう！
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/994688750/
0489１３２人目の素数さん
2010/05/29(土) 14:22:190490１３２人目の素数さん
2010/05/29(土) 20:01:27トポロジー空間論？？が専門だそうです
●セルカンの詐称・盗用を弁護 （国立大学（阪大）の教授が不正行為、不法行為を堂々と擁護）
●毎日 Twitter で醜態を晒し、「貴様の名前所属を調査してみるから！」と脅迫。
●ホラ吹き論文： ９ページＤ論（クライン壷の人工心臓）、 日本原子力学会和文論文誌
●売名：「基調講演」の嵐 ●商魂：博士取得後すぐ Kazuo Kawasaki Ph.D. を商品名に転用
●Wikipediaの経歴も彼の勤め先のIPから編集されている。（自分で編集？）
http://togetter.com/li/5725 -- http://togetter.com/li/8893
http://neta.ywcafe.net/001060.html -- http://neta.ywcafe.net/001064.html
http://www5.diary.ne.jp/logdisp.cgi?user=545461&log=20100308
＞川崎先生は全面的にセルカン氏を擁護して、
＞彼は悪くない、知識がある、
＞東大は匿名の人間の言葉なんか信じるな、
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1270976498/l50#tag659
0491１３２人目の素数さん
2010/05/30(日) 07:50:17ダブルオーですね。。。
その宇宙エレベーターのセルカンさんは
今年東大始まって以来の学位取り消しで
解雇ですが
0492釣られマジレス
2010/05/30(日) 10:39:30す時点で香ばしさ満点だがなw 一般人が騙されるのは仕方がないが、専門家が騙される
とは。。。一体どんなチェック体制になのか？ ＞東大
今回の失敗に学び、再発防止のための多重チェック体制等のシステム確立し、それをきち
んと公表すること。「自分達は天才だからor選ばれた人間だから」という傲慢で歪んだ自
意識が、時として許されざるミスを犯すことをよく自覚することだ。
0493１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:28:57ある本に、
「位相空間Xがコンパクトであるという性質は、
私たちの場合は距離空間と仮定しているから、
'Xの中にある相異なる無限点列{x1,x2,…,xn,…}は必ず集積点を持つ'
と言い表される。」
とありました。これは
'Xの中にある相異なる無限点列{x1,x2,…,xn,…}は必ずXの中に集積点を持つ'
と「Xの中に」を補う必要はないのでしょうか?
0494１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:44:17「集合Mが次の性質(C)を持つとき、Mはコンパクト性を持つ、あるいは
簡単に、Mはコンパクトであるという。
『(C) Mの中から任意に無限点列を取ったとき、この無限点列は
Mの中に必ず集積点を持つ』
また、有界であったとしても閉集合でなければ (C) は成り立たない。
なぜなら、Mは、閉集合でないとする、この時、
Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが、
P∉Mという事態が起きている。平面全体で考えれば、
P1,P2,…,Pn,… の集積点は明らかにPただ一つである。
・・・」
この最後のところの「集積点は明らかにPただ一つである。」
というのは正しくないのではないでしょうか?
0495１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:44:37Xの外のことなど考えていないんだろう
まあありがち
気になるなら、自分で補いましょう
0496１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:47:26文脈がわからないので、何とも言えない
距離空間なら、集積点は存在すればただ一つ
0497１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:50:48距離空間でも、
M={(-1)^n(1-1/n) | n=1,2,…}
の場合は、集積点は、-1と1の二つありますよね?
0498１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:55:09それは、考えているのが「集合X」ではなく「空間X」だから、
空間の外のことは考えないからですか?
「集積点が存在する」と言った場合、そもそも空間の外の
集積点自体がありえないから?
0499１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 16:56:18>>494 で
＞ Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが、
と書かれているので、収束しない点列はここでの考慮の対象にならない
0500１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 17:00:29だとすると、その後の
「P1,P2,…,Pn,… の集積点は明らかにPただ一つである」
の文の必要性は?
0501１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 17:02:480502１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 17:07:300503１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 17:12:38「Mの点列P1,P2,…,Pn…が1点Pに収束する ⇒ P∈M」
なので、「Mが閉集合でない」時は：
「Mの点列P1,P2,…,Pn…が1点Pに収束するのにも関わらず、
P∉M となる点列P1,P2,…,Pn…が存在する。」
ので、>>494の
「Mは、閉集合でないとする、この時、
Mの点列P1,P2,…,Pn…が存在して、この点列は1点Pに収束するが
P∉M という事態が起きている。」
と言えるわけですね。
0504１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 17:23:040505１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 18:06:350506１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 18:16:560507１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 18:19:38↑
「有限集合はいつでもコンパクトである」
とあります。
「コンパクト⇔有界閉集合」
ですから、
「有限集合はいつでも有界閉集合」
ではないのでしょうか?
0508１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 18:51:04コンパクトである事と有界閉集合である事は、常に同値である訳ではない
0509１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 18:57:16例えばどんな場合に同値ではないんでしょう?
0510１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 19:14:36有界閉集合は必ずしもノルム位相でコンパクトではない
0511１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 19:40:10「数列のなすヒルベルト空間」
「ノルム位相でコンパクト」
の意味が分かりません。
0512１３２人目の素数さん
2010/06/19(土) 19:56:350513１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 00:49:320514１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 08:11:44距離空間でない位相空間というのが分からない。
0515１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 08:35:080516１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 08:38:29「Xが加算個の開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…
と覆われているならば、これらの開集合の中から適当な有限個の、
Oi1,Oi2,…,Ois をとると、既にこの有限個によって、
X=Oi1∪Oi2∪…∪Ois と覆われている。」
とのことですが、そもそも「X=O1∪O2∪…」と覆われているとは言えない
場合は、どうやってコンパクトであるかどうか判断するんでしょうか?
例えば、Xが「有界閉集合」の時、開集合 O1,O2,… によって、
X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?
0517１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 08:46:33「A⇒B」
は真。と言うことは、開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…と
書けない場合は、Xはコンパクトである、と言って良いと言うこと?
ということは、「有界閉集合ならば、コンパクトである」は真?
0518１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 08:53:09{P}を集合Aだとすると、Aは、開集合でもあり、閉集合でもある、
という命題は真ですか?
0519１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 13:41:20＞X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?
何か勘違いしてると思う
被覆出来ない場合もあるけど出来ることの方が多いと思っといた方が良い
あとX=O1∪O2∪… じゃなくてX⊆O1∪O2∪…
一冊ちゃんとした教科書を読まないと絶対分かるようにならないよ
位相空間の定義ですら分かってないように見える
>>518は正しい
0520１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 14:13:42>あとX=O1∪O2∪… じゃなくてX⊆O1∪O2∪…
>>516 で書いた定義は、群論への30講のp.217に出てます。
誤植ですか?
0521１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 14:18:56http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
に
「A の内部（ないぶ、interior）または開核（かいかく、open kernel）とは、
条件「A は x の近傍である」を満たす X の点 x 全体の集合である。この
とき x は A の内点（ないてん、interior point）であるという。集合 A
の内部を Int A または Ao で表す。」
とありますが、
条件「A は x の近傍である」 は誤りで、
条件「x の近傍がAに含まれる」 が正しいのではないでしょうか?
0522１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 14:33:38Xは「集合」ではなく、「空間」なので、Xより大きな集合が存在しないので
「⊆」を使う必要がないのでは?
0523１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 14:50:333次元空間の中の球や球面やドーナツ面などは全てコンパクトである。
一方、数直線や平面全体はコンパクトではない。また、
球の内部だけを考えると、開集合となってコンパクトではない。」
とありますが、最後の一文が納得できません。
球の内部をMとすると、無限個の開集合O1,O2,…では
M⊆O1∪O2∪…
と出来ても、その内の有限個のOisを取ると覆えない、というのでしょうか?
0524１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 15:25:12あ、なるほど
そうでしょうね
>>521
「A は x の近傍である」
⇔x∈O⊆Aとなる開集合 O が存在する
⇔「x の近傍がAに含まれる」
だからどっちでも良い
>>523
例えば原点中心の半径 r の球の内部（開球）をB(r)とすると
{B(r)| 0<r<1}は単位開球B(1)を被覆するけど、その有限部分では端っ子が絶対覆えない
言ってることは正しいけど「コンパクト」は位相空間論の中でも比較的難しい話題だから
群論への30講だけで理解しようとせずに主に位相空間について書いた本で勉強した方が良いよ
0525１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 15:33:07後半の球の内部については納得しました。
中間の
>「A は x の近傍である」
>⇔x∈O⊆Aとなる開集合 O が存在する
が分かりません。
ある正数εがあって、
A=O_ε(x)={y; |x-y|<ε}
という意味ではないんですか?
0526１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 15:36:300527１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 15:43:38それなら同値
後は教科書参照
0528１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 15:46:281.「A は x の近傍である」と
2.「A は (x の近傍)である」とでは違ってきますね。
xの近傍 ≡ O_ε(x)={y; |x-y|<ε}
と定義されているのですよね?
0529１３２人目の素数さん
2010/06/20(日) 15:48:59＞
＞と定義されているのですよね?
O_ε(x) = {y; |x-y|<ε} は x の近傍だけど
x の近傍はそれだけじゃないよ
後は教科（ｒｙ
0530１３２人目の素数さん
2010/06/28(月) 01:18:08A∩BやA∪Bがコンパクトにならない例ってありますか？
距離が入らない例を探さないといけないので
こんな簡単な問題で躓いて先に進めません
0531１３２人目の素数さん
2010/06/28(月) 08:09:31Aiがコンパクトの時、A1∪A2、∩Aiはコンパクトで
∪Aiはコンパクトとは限らないみたいですね
0532１３２人目の素数さん
2010/06/28(月) 18:08:280533１３２人目の素数さん
2010/07/04(日) 16:17:590534１３２人目の素数さん
2010/07/05(月) 01:19:26コンパクトというときに、ハウスドルフ性を仮定していないのならば、
共通部分がコンパクトになるとは限らない。
0535１３２人目の素数さん
2010/07/16(金) 09:27:10X:ノルム空間 M：Xの線形部分空間 x_0：Xの元であるがMの元ではない
[x_0]：x_0のスカラー倍全体の集合
M_0 = M + [x_0]：Mと[x_0]で張られた空間
ｆ_0：M_0上の連続線形汎関数
M_0の任意の元yは、y = x + α*x_0 (xはMの元、αは実数)と一意に表される。
||f_0|| = 1 を満たすためには、|f_0(x + α*x_0)|≦||x + α*x_0|| とすればよい。
最後の不等式は十分条件ではないような気がするのですが、解説をお願いします。
0536１３２人目の素数さん
2010/07/19(月) 16:55:59質問しようと疑問点を整理してたら質問するまでもなく解決したなんてざらにある。
0537535
2010/07/19(月) 17:17:39これでいいのですか。
よく分かっていないのですが、||f|| = sup (||f(x)||/||x||) ですよね？
|f(x)|≦||x||ならx≠0のとき|f(x)|/||x||≦1とはなりますが、
これだと||f||≦1しか言えないのではないでしょうか？
よろしくお願いします。
0538535
2010/07/19(月) 17:26:33||f|| = sup (||f(x)||/||x||) = 1 は、|f(x)|/||x||が1に限りなく近づけるか
最大値が１という意味に解釈しています。
よろしくお願いします。
0539１３２人目の素数さん
2010/07/21(水) 06:51:50■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています