>位相空間Ｘを考えるときには結局、Ｘ自身は開集合であることは公理だと
>いうことなのでしょうか？

YES.
あなた何という教科書を持ってるんですか？
教科書の書名と筆者を教えていただけると嬉しい。
どんなとんでもない事が書いてあるんだろう？。。。