>>72
「｛Ｘ，φ｝をＸの 開集合族と定義して位相を入れる」というのは、
「X の開集合が X と φ だけであると定義する」というのと同義です。
なので、「Ｘは開集合と定義して良いのか」という質問には意味がありません。

それと「元々のＸ」とか書いているところからみて、おそらく R^n の具体的な部分集合だけ
を常に例として考えているんじゃないかと推測しますが、位相空間論のような公理的方法
というのは、そいうい具体的な対象から議論に必要な部分だけを取り出して捨象するとい
う点に 1 つの主眼があるので「元々のＸ」の性質はいったん「忘れる」必要があります。
なので「元々のＸがどのような集合であれ」という但し書きも "当たり前" で意味がありません。