何を怒っているのかよくわからんが、
ではこれは一応>>51へのレスということで。

＞存在しないときは後者

というのを、集積点が存在しない→開集合
と考えているのかなと思ってのレスが>>52ね。
(0,1]は0を集積点に持つが、0は(0,1]に含まれない。
しかし(0,1]は開集合ではない、ということ。

>>57はその通り。ブルバキ流なら二つの公理から
始まってXが開でもあり、閉でもあることが
演繹的に導かれる。
ふつうはXが閉ある公理には入れてないのでご注意を。