「位相空間Xがコンパクトである事」の定義は、
「Xが加算個の開集合 O1,O2,… によって、X=O1∪O2∪…
　と覆われているならば、これらの開集合の中から適当な有限個の、
Oi1,Oi2,…,Ois をとると、既にこの有限個によって、
　X=Oi1∪Oi2∪…∪Ois と覆われている。」

とのことですが、そもそも「X=O1∪O2∪…」と覆われているとは言えない
場合は、どうやってコンパクトであるかどうか判断するんでしょうか?

例えば、Xが「有界閉集合」の時、開集合 O1,O2,… によって、
X=O1∪O2∪…とは書けないのではないでしょうか?