『 f:N→R の全単射が存在しないことを背理法を使わずに証明せよ 』

上の証明を教えてください、おねがいします
転部試験で毎年出る問題で困ってます
背理法がダメってことは対角線論法を使うなってことだと思うのですが、
|N|＜|R| が言えないとなると |N|+|R|=|R| もいえませんし、お手上げです