>>436
a=√2,b=√3とするよ
Qは(b,b+a)∩Q、(b+a,b+2a)∩Q、(b-a,b)∩Q、(b+2a,b+3a)∩Q、…という風に
可算個の互いに同相である連結成分に分けられるし
Q×Qも(b,b+a)×(b,b+a)∩Q×Q、(b,b+a)×(b+a,b+2a)∩Q×Q、…という風に
同じ感じに分けられる
だからA=(b,b+a)∩QとB=(b,b+a)×(b,b+a)∩Q×Qが同相であることを示せば十分

Aを横に4等分して出来る小片をA[1,1]、A[1,2]、A[1,3]、A[1,4]とおくと
それらは何れもQの連結成分になる
Bを縦横それぞれで2等分、つまり2×2等分して出来る小片を
B[1,1]、B[1,2]、B[1,3]、B[1,4]とおくと、これらも何れもQ×Qの連結成分となる。
以下A[n,m]を横に4等分して出来る小片をA[n+1,4m-3],A[n+1,4m-2],A[n+1,4m-1],A[n+1,4m]、
B[n,m]についても同様に小片を定義すれば
A=∪{i=1,4}A{1,i]=∪{i=1,16}A{2,i]=∪{i=1,64}A{3,i]=…
B=∪{i=1,4}B{1,i]=∪{i=1,16}B{2,i]=∪{i=1,64}B{3,i]=…と表せる
後は1≦m≦4^nとなる∀n,m∈Nに対してf(A[n,m])=B[n,m]となるfは1つしか無いから
それが同相写像になるんじゃないか？