＞266さん
ありがとうございます。
もしよろしければ、証明の概略を示していただけないでしょうか?

問題設定があいまいだったかもしれないので、もう少し書いておくと、
fは全射とし、BとA＝f^{-1}(B)にはそれぞれ、Y,Xからの相対位相を入れたときに、
制限f|Aは商写像となっているか？ということを考えています。

BがYの開集合または閉集合ならば容易に証明が付けられるのですが、
一般にやろうとすると、
V⊆Bに対し、f^{-1}(V)がAの開集合なら、UをXの開集合として、
f^{-1}(V)＝U∩Aとできる。
とここまではいいのですが･･･
V＝f(U∩A)についてどうしようもなくて困っている、という状況です。