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交換というのは？近傍系全体を問題の二点間で交換するという
こと？

ところで次のようにすれば、選択公理など使わずとも任意の無限
集合にハウスドルフ位相が入ることに気づいた。似た例が教科書
にもあったのになんで思い付かなかったんだろう？Xを無限集合と
して一点x_0を固定し、開集合としてx_0を含まないXの部分集合ま
たはXでの補集合が有限集合になるようなXの部分集合全体を取れば
いい。x_0以外の点xに対し{x}はやはり閉かつ開になり、x_0の近傍
はx_0を含む無限集合で補集合が有限なものに限ることになる。
XにRを取って、x_0=0としてやれば、この位相で例えば開区間(-1, 1)
が開集合にならない。