もう面倒なので、Engelking見ちまった。ゾルゲンフライ直線
(Sorgenfrey line)がお前さんの主張

「Rのユークリッド位相はRのハウスドルフ位相で最弱」

の反例。これはRの完全正規な位相で勿論ハウスドルフ。定義は
次の通り。

「実数xと有理数rでx<rとなるものの組み全てを取り、半開区間[x, r)
の全体
B'={[x, r); x∈R, r∈Q, x<r}
を準基底として生成した位相をRに入れる。」

こいつはRのユークリッド位相と比較可能じゃない。実際上の半開区間
[x, r)はゾルゲンフライ位相で(閉かつ)開集合だが、ユークリッド位相
で開集合にならない。