W_1={[[x],[y],[z]]|x+y+z=0}
W_2={[[x],[y],[z]]|x-y-z=0}
このとき、W_1+W_2の次元を求めよ

という問題なのですが、自分なりに答えは出ましたが確証が持てないので見ていただけないでしょうか。
dimW_1については[[1,1,1]][[x],[y],[z]]=0
から[[1,1,1]]の階数が1なのでdimW_1=(未知数の数)-(係数行列の階数)=3-1=2
W_2についても同様に2

W_1∩W_2={[[x],[y],[z]]|x+y+z=x-y-z=0}
[[1,1,1],[1,-1,-1]][[x],[y],[z]]=[[0],[0]]
係数行列を行基本変形して階数が2、未知数の数が3なので次元は3-2=1

dim(W_1+W_2)=dimW_1+dimW_2-dimW_1∩W_2
=2+2-1=3

答えは感覚的に合ってるのではないかと思うのですが導出過程が
的はずれかもしれないのでよろしくお願いします