数列
A(n+1)=√( A(n)+1 ), A(1)=1
が有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ

という問題を解こうと
数列A(n)の変位 ΔA(n)=A(n+1)-A(n) ≧ 0 を示したいのですが

計算するとΔA(n)=A(n)+1-( A(n) )^2/( √( A(n)+1 )+A(n) )となり
グラフを書くとこの分子がとり得る値に負の数が含まれてしまいます。
A(n)がこの分子が0になる値を超えないという事を示すことが出来れば良いのですが、
その為には…

と無限ループに入ってしまうのです。
他に解き方があるのでしょうか？