多分何かを誤解してます。
平面上を十字に区切ったものが座標で y = ax+b のxは
水平な座標を、ｙは垂直な座標を指すのが慣例ですし、
その式だと x と y はどっちも同じ軸上の座標値を表してます。

まず a+td = b+te を変形して t = (a-b)/(e-d) です。
もう一度 x = a+td か y = b+te に、さっき出たt軸の値を
代入するともう片方の軸の座標値が帰ってくる、と。