誤差が大きくなる原因は、 電卓ででも、
a =1-a;
a =1-a;
とこの計算を２度やってみましょう。
数学的には元に戻る筈ですが、aが小さい程誤差が大きくなります。

浮動小数点数は c*2^d という方式で表現します。c,dのビット幅は固定です。
その為、1-a の段階で aの下位ビット情報が捨てられてしまう事になります。
ただし 1-a という計算結果ちゃんと　実数部の精度があります。

級数展開は 質問スレで書いたとおり
x/2 + x^2/8 + x^3/16+5*x^4/128+..　です。　x^4 が無視出来る程度に小さい時に ３次までの結果を使うといいでしょう.