早速cygwinで実行してみました。以下実行文のコピペです。
1.
$ cat > a
set datetoday=`date`
echo $datetoday →→表示されず
同様に
echo ${datetoday}
echo "$datetoday"
echo "${datetoday}"　　　　　→→表示されず

2.
$ cat > a
datetoday=`date`
echo "$datetoday" →→成功

でした。もしかしたら学校のシェルも"set"要らないのかもしれないですね。

>>675さん
多分その教師は電気回路専門でUNIXはそんなにできないと思います。
生徒の質問に答えるのはアシスタントの学生ですし。