小ネタを一つ
お題：「笑わない数学者」（森博嗣）の「ビリヤード問題」

小手調べ
五つのビリヤードの玉を円形に並べる。
玉には自然数が書いてある（連続しているとは限らない）。
玉をいくつとってもいいが、隣通し連続したものしかとれないとする（離れているものはとれない）。
この条件でとった玉の数字を足し合わせて1から21までのすべての数ができるようにするには、ビリヤードの玉をどう並べればいいか

本題
小手調べ問題ではビリヤードの玉を五つとしたが、これをもっと大きな数に拡張せよ。
解が存在しない個数のうちもっとも小さいものはいくらか？
ビリヤードの玉の上限に限界はあるか？