「v(s)をひとつの値として」の辺りに「質問者がそもそも問題をわかってないオーラ」が漂っている．

v(s) = (x(s), y(s) ) なんだから v(s) は最初からベクトルでしょう．それを「一つの値にする」というのは
|v(s)|^2 だとか，とにかく何かのスカラーにするということだろうか．