>>555 さんアドバイスありがとうございます

DataGridView.DataSource = DataSet1.TblAddrListDataTable
を
DataGridView.DataSource = DataSet1.【テーブル名】DataTable
という形にし、Dataset側を毎回初期化することで1行ずつ渡す事は成功しました。

しかし、DataSorce 側に行を追加する機能が見つからず、現状では最後に渡した
行だけが表示されてしまいます。

DataGridView.DataSource『.Rows.Add』
のような機能を探しましたが見つからず、ここで引っかかっています。

もしかして、そもそも方向性が間違っていますか？