レンタルサーバでもSQLiteくらい使えるんでないの？
MySQLみたいなデーモン型でポートを専有するタイプは無理だろうけど。
VMwareか何でレンタルサーバと同じＯＳ環境を作ってSQLiteをインストールして、そのバイナリをレンタルサーバにアップロードすればＯＫ．．．と思うよ。