だいぶスレ違いだねえ。

一般的に双対を扱いたいなら、
理論内部での定理でなく、理論に対するメタ定理とすることが必要でしょう。
つまり公理系の性質に関する証明。

それとは別に、
線型空間の双対空間などいわゆる理論内部でのことなら、
構成的数学で扱える範囲ならOKではないでしょうか。
特にWKL_0あたりで算術化できるならかなりできると思う。

逆数学関連や
竹内外史先生が岩波（数学会）から出していた本など参考にされてはどうでしょう。