> use strict;
> をすると、変数宣言をしていないためエラーが出てしまいます。

質問が良く分からんのだが、以下のは動くぞ。

--------- test.pl ----------
use strict;
our $a;
require 'test2.pl';
print $a;
--------- test2.pl ---------
use strict;
$a = 1;
1;

コードとエラーメッセージ晒してみ。