OdbcConnectionだと、OdbcConnection.DNSプロパティに
管理ツールで登録したODBCデータソース名をセットして接続できますが、
SqlConnectionの場合、接続文字列にODBCデータソース名を
利用することはできないのでしょうか？

OdbcConnectionで一旦接続してから、
その接続文字列からサーバー名データベース名等を取得して
それをSqlConnectionに渡すしかない？